👋🏼 Var med och förbättra Skolbanken med oss på Unikum. Svara på formuläret här

Skolbanken – inspiration och utveckling från hela landet

Ma3c: Område Kurvor, derivator och integraler

Skapad 2020-08-21 10:24 i Birgittaskolan gymnasium Linköping
Gymnasieskola Matematik
Arbetsområdet Kurvor, derivator och integraler tar upp kopplingen mellan en kurvas utseende och derivatan, med hjälp av derivatan kan vi rita upp en funktions graf. Det handlar också om kopplingen mellan derivatans graf och funktionens graf. Integraler handlar om att kunna integrera en derivata tillbaka till dess funktion.

Innehåll

Vad?

Utseendet på grafen till en funktion kan bestämmas med hjälp av derivata. När derivatan blir noll i en given punkt på grafen innebär det att funktionen har en extrempunkt, alltså en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. När derivatans värde blir negativt i en punkt innebär det att funktionens värde avtar och att tangenten till den givna punkten har negativ riktningskoefficient. Är istället derivatans värde positivt så ökar funktionens värde och tangenten har positiv riktningskoefficient. Med hjälp av detta kan vi skissa hur grafen till funktionen kommer att se ut. Detta har vi nytta av ur synpunkten att vi kan representera hur funktionens förändringshastighet ändras med en bild av grafen. Vi kan dessutom med hjälp av funktionens andraderivata direkt se om derivatan till funktionen är maximi- eller minimipunkt i den punkt där förstaderivatan är noll. 

Integraler är något som används för att beräkna areor. Areorna av regelbundna figurer som cirklar, rektanglar och trianglar har redan färdiga formler som kan användas, men en oregelbunden area där sidorna består av kurvor går det inte att ha en bestämd formel till. Istället får vi använda integraler för att kunna bestämma en sådan area. Integralkalkyl innebär att dela upp arean i många små areor i form av trapetser. För att kunna genomföra beräkningen behöver vi något som kallas för integrander. Integrander anger gränserna för den area vi ska beräkna och de är primitiva funktioner. Om du har en derivata och vill veta vilken funktion den var så tar du reda på derivatans primitiva funktion. På sätt och vis är det att göra en derivering baklänges och därför kallas primitiva funktioner ofta för antiderivata. 

Inom arbetsområdet kurvor, derivator och integraler kommer du att bekanta dig med många nya begrepp såsom teckenstudie, andraderivata, extrempunkt, extremvärde, terrasspunkt, minimipunkt, maximipunkt, integral, integrand, primitiv funktion, asymptot, andraderivata, lokala och globala extremvärden. De här begrepp ska du både förstå och kunna använda till beräkningar.

Hur?

Arbetsområdet kommer bestå av att arbeta med uppgifter i läroboken/digitalt läromedel, enskilda eller gruppgenomgångar, genomgångar via videoklipp, avslutande diagnos m.m.

 

När?

Arbetsområdet Kurvor, derivator och integraler bör ta elva skolveckor att genomföra. I slutet av den elfte veckan genomförs en diagnos i formativt syfte och via nationella provet examineras området.

Kopplingar till läroplanen

  • Centralt innehåll
  • Algebraiska och grafiska metoder för lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium, andraderivata och användning av numeriska och symbolhanterande verktyg.
    Mat  -
  • Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata.
    Mat  -
  • Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata.
    Mat  -
  • Bestämning av enkla integraler såväl med som utan digitala verktyg i tillämpningar som är relevanta för karaktärsämnena.
    Mat  -
  • Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
    Mat  -
  • Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
    Mat  -
  • Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
    Mat  -
  • Kunskapskrav
  • Eleven kan definiera och utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade aritmetiska och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.
    Mat  A
  • Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade aritmetiska och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
    Mat  C
  • Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
    Mat  E
  • Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.
    Mat  A
  • Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.
    Mat  C
  • Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och metoder.
    Mat  E
  • Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
    Mat  A
  • Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra enkla matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
    Mat  C
  • Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal och skrift med inslag av matematiska symboler och andra representationer.
    Mat  E
  • Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.
    Mat  A
  • Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade resonemang om exemplens relevans.
    Mat  C
  • Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang om exemplens relevans.
    Mat  E