Funktioner matematik 1a

Mål: • Sambandet mellan två variabler. • Sambandet med en konstant ökning eller minskning (linjära förändring) eller en konstant förändring i procent (exponentiell förändring). • Kunna använda formler och grafer för att presentera olika samband både med och utan dator eller räknare.

Koordinatsystem 

I ett koordinatsystem beskrivs en punkts läge med två tal,

en x-koordinat och en y-koordinat.

Punkten A har koordinaterna (x, y)

Punkten (0,0) är origo

http://ncm.gu.se/media/namnaren/npn/matematikpapper/koord_syst_ograderat.pdf

 

 

Funktion- formel, värdetabell och graf

Funktion: Ett samband mellan två variabler x och y, där varje x-värde enligt en regel ger ett bestämt y-värde.

Man säger att y är en funktion av x. 

Linjära funktioner

En rät linje kan skrivas på formen 

y=kx+m där bokstäverna i formeln betyder följande:

·         k betyder lutningen, kallas också riktningskoefficient. En koefficient är ett tal som står framför en variabel eller en funktion 

·         m betyder det y-värde där linjen skär y-axeln.

Lutningen k kan beräknas med formeln:k =

En linjes lutning kan också avläsas genom att se hur många steg uppåt eller nedåt i y-led vi kommer genom att gå ett steg åt höger i x-led. Kommer vi då två steg uppåt är lutningen 2 och kommer vi 1 steg nedåt så är lutningen -1. Detta kan vara svårare att avläsa då linjen inte på ett tydligt vi går genom heltalskoordinater.

 

Egenskaper hos linjära funktioner.

För en linjär funktion y = kx+m kallas k riktningskoefficient och beskriver linjens lutning. Det gäller att:

k större än 0 (k> 0) linjens lutning är positiv

k lika med 0 (k = 0) linjen är parallell med x- axeln.

k mindre än 0 (k< 0) linjens lutning är negativ.

m : betyder det y-värde där linjen skär y-axeln.

 

 

Proportionalitet:

En funktion som kan skrivas y = kx kallas en proportionalitet. Grafen är en rät linje genom origo. 

 

Förändringsfaktor:

 

 Förändringsfaktor är ett annat sätt att visa förändringar i procent. I stället för att räkna ut förändringen och dela det med ursprungliga värdet som vi lärde oss i förändringar i procent avsnittet så kan vi använda

 formeln:         Förändringsfaktorn=Nya värdet/ Gamla värdet

 

Procentuella förändringar och exponentialfunktioner. 

Länk till exponentialfunktioner:

https://www.youtube.com/watch?v=LujO-6QU4sU&authuser=0   

Formel för procentuell förändring :

Nya värdet= Förändringsfaktorn * Gamla värdet.

 

Ex. Novas månadslön på 24 500 kr höjs med 3%.

a)    Vilken är förändringsfaktorn?

Svar: 1,03

b) Beräkna den nya lönen med hjälp av förändringsfaktorn.

Svar: 1,03* 24500= 25235 kr

 

Procentuella förändringar och jämförelser

Procentuell förändring 

Förändringsfaktorn = Nya värdet/ gamla värdet 

eller 

Förändringen = skillnaden/ gamla värdet

Vid jämförelse:

Förändring = skillnaden/ Värdet vi jämför med

 

Exponentialfunktioner

En funktion av typen Y = C* a^x  kallas exponentialfunktion. C är ett startvärde som kan avläsas där grafen skär y-axeln. a är en förändringsfaktor. 

C: är det gamla värdet.

a: är en förändringsfaktor.

a^x : är en total förändringsfaktor.

y: är det nya värdet.

Grafisk lösning av ekvationen f(x) =a

Hur löser man en ekvation grafiskt?

Vi löser en ekvation grafiskt genom att göra om båda leden till varsin funktion, som sedan ritas upp i samma koordinatsystem. -värdet under skärningspunkten för de två funktionerna blir lösningen på ekvationen, eftersom det är där som ekvationens båda sidor är lika stora (VL=HL).

 https://www.youtube.com/watch?v=q0fe0HKt7uQ

https://www.youtube.com/watch?v=rPlkkRoO3BA

https://www.youtube.com/watch?v=kpslI7p9aVs

Läroplanskopplingar

Centralt innehåll

• Begreppet funktion. Representationer av funktioner i form av ord, funktionsuttryck, tabeller och grafer. Digitala metoder för att skapa funktionsgrafer. 
• Metoder för att bestämma funktionsvärden. Grafiska metoder för att lösa ekvationer av typen f(x) = a.
• Begreppet linjär funktion och egenskaper hos linjära funktioner.
• Begreppet exponentialfunktion och egenskaper hos exponentialfunktioner, inklusive skillnader och likheter med linjära funktioner.
• Metoder för att lösa linjära ekvationer.