Sannolikhet och statistik

Mål • kunna beräkna likformig sannolikhet i slumpmässiga situationer. • kunna använda och avläsa ett träddiagram. • kunna beräkna sannolikhet för en kombinerad slumpmässig händelse med multiplikationsprincipen. • Kunna räkna ränta, amortering med hjälp av kalkylprogram. • Kunna ge exempel på hur de statistiska begreppen signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor används i samhället och yrkesliv.

Sannolikhet: ett mått på hur troligt det är att en viss händelse ska inträffa.

Det finns ett par ord som betyder samma sak som sannolikhet:

-       Chans: används när det är positiva händelse. Händelse som man vill att det ska inträffa.

-       Risk: används när det är negativa händelser. Händelser som inte vill att det ska inträffa.

Sannolikhet 

Är ett mått på hur troligt det är att en händelse inträffar.

0% : omöjligt

25%: mindre troligt

50%: lika chans/risk

75% :mera troligt

100% : säkert

Sannolikheten = antalet gynnsamma händelser/antalet möjliga händelser

P(H)=antalet gynnsamma utfall/ antalet möjliga utfall

 

Bokstaven p står för sannolikhet (jämför engelskans probability).

Gynnsamma betyder: det sätt händelser kan inträffa på.

Sannolikheten för en händelse H skrivs p(H) och är alltid ett tal mellan 0 och 1. Detta kan skrivas  0≤P(H)≤1

 

Kortlek symboler 

De två färgerna i denna kortlek, med respektive svit märke inom parentes, är: spader (♠), hjärter (♥), ruter (♦) och klöver (♣).

Den består av 52 spelkort. Varje märke innehåller ett ess, nummerkort från 2 till 10, en knekt, en dam och en kung .

 

Uppgift 4105 s. 232

Du drar slumpvis ett kort ur en vanlig kortlek. Förklara vad som menas med skrivsättet

p(ess)= 4/52

Sannolikhet och relativ frekvens

Relativ frekvens = frekvens/ Antal försök.

Ex: Lina tränar straffkast i basket. Hon gör poäng på 37 straffar och missar 13. Hur stor är chansen att Lina gör poäng på ett straffkast.

Slumpförsök i flera steg

Ex: Anta att vi vill beräkna sannolikheten att få poängsumman 10 när vi kastar två tärningar. Vi kan göra beräkningen om vi vet 

• antalet möjliga utfall.
• Antal utfall med poängsumman 10. 

Träddiagram

Träddiagram används för att beräkna sannolikheter i flera steg. En eller flera olika kombinationer av utfallen kan motsvara den gynnsamma händelsen.

I ett träddiagram redovisas alla olika utfall för att förenkla beräkning av sannolikheter i flera steg. Det kommer till störst nytta då det finns olika grenar, vilket motsvarar olika möjliga vägar, att nå fram till det önskade resultatet.

Träddiagram 

Räkneregler för träddiagram

 

1. Sannolikheten för en gren (ett utfall) i ett träddiagram är lika med produkten av sannolikheterna längs grenen. Kallas multiplikationsprincipen.

Beroende händelser 

Ex: Antalet elever i två skolklasser är 24 i klass A och 32 i klass B. 

Tre elever ska slumpmässigt väljas ut för att representera klasserna i en tävling. 

Hur stor är chansen att det blir

https://www.youtube.com/watch?v=0v4u8em4BYwhttps://www.youtube.com/watch?v=0v4u8em4BYw

a)   tre från klass A

b)   tre från samma klass.

 

Komplementhändelse

Om  B är komplementhändelse till händelsen A gäller att P(A)+P(B) =1

Med hjälp av komplementhändelsen kan vi beräkna sannolikheten för en händelse genom att subtrahera 

1 med komplementhändelsen, alltså  P(A)=1−P(B) 

https://www.youtube.com/watch?v=0v4u8em4BYw

 

Ex:https://www.youtube.com/watch?v=HGoYUHJ74uw

Sammanfattning 

Sammanfattning Matematik 1a - (Innehåll Matte 1a) - Eddler

 

Statistik

Stickprov och urvalsmetoder

Det är vanligt att statistiska undersökningar av olika slag genomförs i dagens samhälle. Den grupp av människor eller objekt som man vill veta något om i undersökningen kallas för en population. Vid en folkomröstning frågar man hela (den röstberättigade) populationen vad den tycker i en viss fråga. Undersökningar där man undersöker hela populationen kallas för totalundersökningar.

Urval

Det är mycket viktigt att urvalet, det vill säga den metod som man använder för att välja ut de personer som ska svara på frågorna, sker på rätt sätt.

Urvalet ska ske så att den del av populationen som man frågar tillräckligt väl representerar hela populationen och att alla olika grupper finns representerade i samma proportioner som i den hela populationen. Om urvalet inte representerar hela populationen så kan vi få ett urvalsfel som ger en felaktig bild av populationen. Urvalet kan göras på ett antal sätt, varav vi går igenom de mest välkända.

Begrepp: 

·       Stickprov eller urval: Gruppen som ska representera populationen.

·       Urvalsfel: Uppstår då metoden man använder för att samla information leder till att urvalet inte representerar populationen som vi vill få kunskap om.

·       Population: Den grupp man vill undersöka, som kan vara människor eller objekt.

·       Totalundersökning: När man undersöker hela populationen, som i en folkomröstning.

·       Obundet slumpmässigt urval: En metod att välja ut stickprovet för en undersökning, där alla objekt i populationen har samma chans att väljas ut.

·       Stratifierat Urval: En metod att välja ut stickprovet utifrån gruppernas storlek i populationen.

Uppgift 4402 s. 261

I Karls yrke arbetar 35000 personer i Sverige. Karl vill undersöka hur många av dessa som är under 20 år.

a.                            Vilken är populationen?

b.                            Hur stort är stickprovet?

c.                             Hur stor andel av personerna i stickprovet är under 20 år? 

d.                            Vilket är resultatet av Karls undersökning?

 

Signifikans och felkällor: 

·       Statistiskt signifikant: Ett begrepp för att säga att en förändring över tid som man sett genom stickprovsundersökningar inte är ett resultat av slumpen, utan beror på att förändringar har skett i verkligheten. För att något ska vara statistiskt signifikant måste skillnaden mellan värdena man får från stickprovsundersökningarna vara större än summan av felmarginalerna.

Begrepp: 

·       Urval, stickprov: En mindre del av den population som vi vill få kunskap om.

·       Urvalsfel: Uppstår då metoden man använder för att samla information leder till att urvalet inte representerar populationen som vi vill få kunskap om.

·       Stickprovsstorlek: Antalet individer i ett stickprov. En risk att dra fel slutsats kan uppstå om stickprovets storlek är så liten att slumpen avgör resultatet.

·       Bortfall: Förväntade svar från ett stickprov som faller bort. Om bortfallet avviker systematiskt från övriga stickprovet är det risk att undersökningens resultat blir felaktigt.

·       Mätfel: Ett fel i en undersökning där den information man får in inte stämmer överens med verkligheten.

·       Tolkningsfel: Syftar på när resultatet av en undersökning tolkas på fel sätt.

Korrelation och kausalitet

·       Korrelation: Används för att ange att det finns ett samband mellan två variabler.

·       Positiv korrelation: Om observationsvärdena i ett spridningsdiagram samlas som om de ligger längs en rät linje med positiv lutning.

·       Negativ korrelation: Om observationsvärdena i ett spridningsdiagram ligger samlade runt en tänkt linje med en negativ lutning.

·       Stark eller svag korrelation: Om det finns en tydlig positiv eller negativ korrelation kallas korrelationen stark, ifall det finns ett visst samband, men värdena är ganska utspridda kallas korrelationen svag.

·       Ingen korrelation: Om det inte finns något samband mellan variablerna.

·       Kausalitet: Inträffar endast om den ena variabeln påverkar den andra variabeln, d.v.s. om den ena händelsen sker som ett resultat av den andra. 

Läroplansmål

Centralt innehåll

• Begreppen oberoende och beroende händelse samt komplementhändelse. Metoder för att beräkna sannolikheter i flera steg, inklusive exempel från spel, risk- och säkerhetsbedömningar.
• Exempel på hur några statistiska begrepp används i samhälle och yrkesliv, inklusive signifikans, korrelation, kausalitet, urvalsmetoder och felkällor. 
• Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i yrkesliv, privatekonomi och samhällsliv.