Matematik 4 Lå 16-17 med Marcus Elghag

Den här planeringen kommer vara levande under hela kursen och uppdateras fortlöpande...

- Här finns formelblad -

Nationellt prov - Fredag 19/5 Arenahallen (Fäktsalen) 8.45-11.15 och 12.00-14.00

Område 3 - Integraler och komplexa tal

Preliminär planering

Vecka	Lektion	Dag	Sidor
6	1	Mån	s 136-139
	2	Tis	s 140-144
7	3	Mån	Provgenomgång
	4	Tis	s 145-146
8			sportlov
9	5	Mån	s 147-154
	6	Tis	s 150-154
10	7	Mån	s 155-158
	8	Tis	s 168-172 Komplexa tal
11	9	Mån	s 173-175
	10	Tis	s 176-178
12	11	Mån	s 179-183
	12	Tis	s 184-186
13	13	Mån	s 187-189
	14	Tis	s 190-191
14	15	Mån	s 192-195
	16	Tis	s 196-199
15			påsklov
16		Mån	annandag påsk
	17	Tis	s 200-203
17	18	Mån	Repetition
	19	Tis	Repetition
18		Mån	första maj
	20	Tis	Prov och rep NP
19	21	Mån	Prov och rep NP
		Tis	Rep NP
20		Mån	Rep NP
		Tis	Rep NP
		Fre	Nationellt prov

Efter avslutat område skall du kunna...

...bestämma primitiva funktioner till potens-, exponent-, logaritm- samt trigonometriska funktioner
-Dela upp i termer och förkorta om möjligt
-Använd formelbladet. Alla formler i boken finns ej i formelbladet
-Ta hänsyn till inre derivata (t.ex. genom att dividera bort det som kommer trilla ut)
-Derivera funktionen efteråt som kontroll
...beräkna integraler och areor under grafer
-Skilj på att beräkna integraler och att beräkna areor. T.ex. så är integralen för sin x i intervallet 0 till 360 grader = 0, men arean är det inte.
-Då en graf har värden både under och över x-axeln i ett givet intervall som arean skall beräknas för, dela upp beräkningen i flera integraler. Sätt - tecken framför de integraler som kommer bli negativa.
...använda sig utav räkneregler för integraler
-Finns 4 st som ej finns i formelbladet, kom ihåg att de är 4 till antalet så kommer du nog komma ihåg vilka de är
...beräkna arean av områden mellan två kurvor
-Integralen för den övre kurvan ena minus integralen för den nedre
-Ibland kan du behöva beräkna skärningspunkter för att hitta integrationsgränserna
-En ny integral behövs varje gång de två kurvorna du beräknar arena mellan byts ut (T.ex i uppgift 4349)
Genomgång - Arean mellan kurvor
...tillämpa integraler för att lösa problem
-En primitiv funktion kan användas för att kunna beräkna en annan storhet än den storhet funktionen beskriver. T.ex. primitiv funktion till hastighetsfunktion ger sträcka, primitiv funktion för kraft är arbete.
-Formel för att beräkna sannolikhet för ett normalfördelat material finns i formelbladet
...beräkna volym för rotationskroppar
-Använd funktionen pi * funktionen^2 vid integration för att beräkna volym i stället för area (beror på att då summeras cirkelskivor i stället för bara staplar vid integration)
...vad ett komplext tal och i är för något samt kunna lösa ekvationer som har komplexa rötter
För ett komplext tal z = a + bi gäller att Re z = a (realdelen), Im z = b (imaginärdelen) samt att = a - bi (konjugatet till z)
Genomgång - Talet i
...räkna med komplexa tal i rektangulär form
-I addition och subtraktion adderas realdel för sig och imaginärdel för sig
-I multiplikation multipliceras talen som om de vore binom, t.ex. hur skulle du räknat (4 + 2x)(3x + 8) ?
-I division förlängs talet med konjugatet till nämnaren eftersom nämnaren då alltid blir reell.
-Om du söker talet z kan du behöva utnyttja att z = a + bi och lösa en ekvation för realdel för sig och imaginärdel för sig
Genomgång - Beräkningar med komplexa tal
...andragradsekvationer med komplexa rötter
-Använd pq-formeln och ersätt roten ur -1 med i
...lösa ekvationer av högre grad med hjälp av följande 3 metoder
-Bryt ut så hög x faktor som möjligt och lös kvarvarande faktor (ex x^4 + 2x^3 + 2x^2 = 0)
-Identifiering av koefficienter (då minst en rot är känd, skriv p(x) = (x - a)q(x), multiplicera ihop och identifiera respektive koefficient till p(x))
-Polynomdivision (då minst en rot är känd, använd liggande stolen för att bestämma q(x))
Genomgång - Ekvationer av högre grad
...representera komplexa tal med visare i det komplexa talplanet
...representera komplexa tal i polär form
-|z|(cos v + i sin v) där
|z| är absolutbeloppet av z - bestäms med hjälp av Pythagoras sats)
v är argumentet för z (arg z) - bestäms med hjälp av arctan (Im z / Re z)
Genomgång - Polär form
...räkna med komplexa tal i polär form
-Polär form extra bra vid multiplikation, division och potenser (formler finns i formelbladet)
-Räkneregler för potenser gäller endast positiva heltalsexponenter
Uppgift - Potenser av komplexa tal
...finna komplexa rötter till potensekvationer
-Skriv om i polär form
-Finn en ekvation för absolutbeloppet och en annan ekvation för argumentet
-När argumentet bestäms, tänk på att perioden är 360 grader, detta ger lika många rötter som exponenten i potensen
Genomgång - Potensekvationer
Uppgift - Avslutande uppgift potensekvationer
...representera komplexa tal i potensform
-Eulers formel säger att re^iv = r(cos v + i sin v) (finns i formelbladet)
-Skriv om
Genomgång - Komplexa tal i potensform

Område 2 - Deriveringsregler, differentialekvationer, gränsvärden samt kurvritning

Preliminär planering

Vecka	Lektion	Dag	Sidor
46	1	Tis	s 74-80
47		Mån	Provgenomgång
	2	Tis	s 81-84
48	3	Mån	s 85-87
	4	Tis	s 88-93
49	5	Mån	s 91-97
	6	Tis	s 98-101
50	7	Mån	s 114-117
	8	Tis	s 118-120
51	9	Mån	s 121-124
	10	Tis	s 125-128
			jullov
2	11	Tis	s 129-131
3	12	Mån	s 132-135
	13	Tis	Repetition
4	14	Mån	Repetition
	15	Tis	Repetition
5	16	Mån	prov kap 3+4.1+4.2

Uppgifter att räkna i "blandade uppgifter" (sid 163-165):
1, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 20, 21, 22, 23, 26

Efter avslutat område skall du...

...kunna derivera med hjälp av deriveringsregler samt härleda vissa deriveringsregler med hjälp av derivatans definition
(Lek 1, sid 76-78)
- Derivatan av en konstant = 0
- Derivatan av kxⁿ = nkx^n-1
- Derivatan av ke^nx = nke^nx
- Derivera term för term
- Derivatans definition =
...kunna tolka derivata, och använda derivata för att beräkna tillväxthastigheten vid en given tidpunkt (använda en variabels värde) eller vid vilken tidpunkt tillväxthastigheten har ett visst värde (lösa en ekvation)
(Lek 1, sid 79-80)
- Derivatan i en given punkt visar lutningen/riktningskoefficienten i denna punkt. I en verklig situation kan detta värde tolkas som med vilken hastighet funktionen förändras vid denna tidpunkt.
- För att bestämma en tangens ekvation (y = kx + m) vid en viss punkt, beräkna riktningskoefficienten (k) med hjälp av derivata. Ställ sedan upp en ekvation där punktens x och y värde används i ekvationen y = kx + m.
...kunna derivera sammansatta funktioner med hjälp av kedjeregeln
(Lek 2, sid 81-84)
- Om h(x) = f(g(x)) så är h'(x) = f '(g(x)) ∙ g'(x)
- Dela upp funktionen i en yttre och en inre funktion
- Skriv gärna om f(x) som f(g(x)) och ersätt den inre funktionen med g(x)

Ex. Derivera f(x) = 3(x²+6x)³
f(g(x)) = 3(g(x))³ och g(x) = x² + 6x
g’(x) = 2x + 6
f ’(g(x)) = 3 ∙ 3(g(x))² ∙ g'(x)
f ’(x) = 9(x² + 6x)² ∙ (2x + 6)
- Hur ser "originalfunktionen" ut?
Ex. Derivera f(x) = ln (3x^2 + 5)
"Originalfunktionen" = ln x
f(g(x)) = ln g(x) och g(x) = 3x^2 + 5
g'(x) = 6x
f'(g(x)) = 1 / g(x) ∙ g'(x)
f'(x) = 6x / (3x^2 + 5)
Genomgång - Derivata av sammansatta funktioner
...kunna tillämpa kedjeregeln i en verklig situation
(Lek 3, sid 85-87)
- Skriv om funktioner så det tydligt framgår vad som är funktioner och vad som är variabler
Genomgång - Tillämpningar av kedjeregeln
...kunna derivera trigonometriska funktioner, potensekvationer samt använda regler för att derivera en produkt och en kvot
(Lek 4-5, sid 88-97)
- Använd formelbladet när dessa typer av funktioner deriveras
- När cos och sin deriveras måste vinklarna anges i radianer
Genomgång - Produkt- och kvotregeln
...veta vad en differentialekvation är, kunna ställa upp en differentialekvation utifrån en given situation samt kunna avgöra om en viss funktion är en lösning till en differentialekvation
(Lek 6, sid 98-101)
- En ekvation som innehåller en eller flera derivator till en funktion
- Lösningen är den funktion som leder till att ekvationen stämmer
- Om derivatan till en funktion är proportionerlig till funktionen kan detta skrivas som y' = ky, där k är en konstant. (Tänk om tillväxthastigheten alltid är t.ex. 4% av nuvarande värde, då är y' = 0,04y, dvs en konstant före y)
Genomgång - Differentialekvationer
...kunna lösa problem där du skall hitta största eller minsta värde
(Lek 7, sid 114-117)
Inledande övning maximi och minimiproblem
...kunna rita grafer med hjälp av derivata
(Lek 8, sid 118-120)
1. Derivera funktionen
2. Hitta nollställen för derivatan => lokala (ev globala) extrempunkter
3. Gör teckenstudie kring nollställena för att avgöra om extrempunkterna är maximi-, minimi- eller terrasspunkter
(Alternativt använd andraderivata för x-värdena för extrempunkterna, om negativ andraderivata så maximipunkt, om positiv andraderivata så minimipunkt, om nollställe hos andraderivatan så terrasspunkt - Övning för att förstå hur detta kommer sig)
4. Hitta y-värden för extrempunkter samt ändpunkter
5. Markera punkter samt "beteende"
6. Sammabind punkterna med en mjuk linje
...kunna avläsa och beräkna gränsvärden
(Lek 9, sid 121-124)
- En kontinuerlig funktion är en funktion som är definierad för alla x samt "hänger ihop"
- Högergränsvärde (+), vänstergränsvärde (-)
- Då nämnaren i en kvot närmar sig 0 från höger, går uttrycket mot + oändligheten och vice versa.
- Då täljaren i en kvot närmar sig oändligheten går uttycket alltid mot 0, oavsett "riktning"
- Absolutbeloppfunktioner av typen f(x) = |x| är ej deriverbara där grafen "vänder" eftersom täljaren och nämnaren inte kommer ha samma tecken då h närmar sig 0 från höger som då h närmar sig 0 från vänster
Inledande övning gränsvärden
...kunna bestämma asymptoter till funktioner
(Lek 10-11, sid 125-131)
-Vertikal asymptot kan existera då funktionen ej är definierad och i så fall för detta x-värde
-Om f(x) -> ∞ eller f(x) -> -∞ då x -> k så är x = k en vertikal asymptot. Om däremot nämnaren kan "förkortas bort" existerar ej en vertikal asymptot
-Horisontella och sneda asymptoter kan existera då x -> ∞
-Om f(x) -> k då x -> ∞ eller då x -> -∞ så är y = k en horisontell asymptot
-Om f(x) -> kx + m då x -> ∞ eller då x -> -∞ så är y = kx + m en sned asymptot
-Vid bestämning av vertikal asymptot, försök först förenkla och dela upp funktionen i termer. Studera nu gränsvärdet då x->∞, om f(x) -> kx + m så är detta ekvationen för den sneda asymptoten
-För funktioner av typen , utnyttja att k = och att m = OBS! Dessa finns ej i formelbladet!
-Då du bestämmer och m, förkorta med högsta graden av täljarens variabel och dela upp i termer
Genomgång - Vertikala och horisontella asymptoter
Genomgång - Sneda asymptoter
...kunna skissa grafer med hjälp av asymptoter
(Lek 12, sid 132-135)
-Bestäm och skissa asymptoter
-Hitta var extrempunkter finns samt vilken typ av extrempunkt det är
-Finns inga extrempunkter, hitta några andra punkter att utgå ifrån (från respektive sida om asymptoterna)
-Skissa grafen

Område 1 - Bevis och trigonometri (prov kring höstlovet)

Efter avslutat område skall du kunna...

...genomföra bevis inom geometri och aritmetik med både direkta och indirekta metoder samt motsägelsebevis
(Lek 1-4, sid 8-17) Inscannat från boken: s8-11, s12-14, s15-17
- Red ut vad målet med ett bevis är, när är du klar? Jobba mot detta mål.
- Hänvisa till redan bevisade satser i formelbladet
- Använd 2k för jämna tal och 2k+1 för udda tal
- Motsägelsebevis: "Visa att ... = x" ändra till "Visa att ... != x" eller motsatsen till x om sådant finns
- Vid bevis av typen "Om ... så är ...", är indirekta bevis bra
- Indirekt bevis: Påstående baklänges med inverterade sant/falsk
Genomgång 1 - Hur ett bevis är uppbyggt
Genomgång 2 - Aritmetiska bevis
Genomgång 3 - Motsägelsebevis och indirekta bevis
...bestämma vinkel eller en sida hos en rätvinklig triangel, med och utan räknare
(Lek 5, sid 26-28)
- Ställ upp en ekvation mha definitioner för sin, cos och tan
Genomgång 4 - Trigonometri i rätvinkliga trianglar
...enhetscirkeln
(Lek 6, sid 29-30)
Genomgång 5 - Enhetscirkeln
Övning - Enhetscirkeln (i stället för att räkna på sid 30)
...lösa trigonometriska ekvationer
(Lek 6-7, sid 31-34)
-Hitta två vinklar som ger samma värde, tänk på enhetscirkeln
-Täck samtliga fall med hänsyn till perioden
-Utnyttja att tan v = sin v / cos v i ekvationer av typen a sin x = b cos x
Genomgång 6 - Trigonometriska ekvationer
...växla mellan radianer och grader
(Lek 8, sid 35-37)
-Omkretsen på en cirkel med radien 1 = 2π
-Tänk längd på cirkelbåge när du omvandlar till radianer, vinkel i radianer = grader/360 ∙ 2π
Genomgång 7 - Radianer
...använda sig utav trigonometriska samband
(Lek 9-11, sid 38-46)
-Trigonometriska ettan (sin² x + cos² x = 1) (finns i formelbladet), konjugatregeln används ofta i samband med denna
-Motsatta vinklar och komplementvinklar (t.ex sin(-v) = - sin v och sin (90^o- v) = cos v) (finns ej i formelbladet), titta på enhetscirkeln
-Additions och subtraktionsformler (t.ex sin(u+v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v)) (finns i formelbladet)
Genomgång 8 - Trigonometriska ettan
Övning motsatta vinklar och komplementvinklar
Genomgång 8 - Additions- och subtraktionsformler
Uppgift 2256
...egenskaper hos sin och cos funktionerna (ex y = A sin(Bx + C) + D)
(Lek 12-13, sid 47-55)
-Amplitud är halva avståndet mellan högsta och minsta värdet, A bestämmer amplituden
-Perioden är hur "lång" en graf är innan den "börjar om", B bestämmer perioden enligt perioden = 360/B eller 2π/B
-En graf förskjuts i y-led genom att ändra värdet på D
-En graf förskjuts i x-led genom att ändra värdet på C, C påverkas av B enligt förskjutning = C/B
Inledande övning - Trigonometriska funktioner
Övning - Period samt förskjutning i x- och y-led av trigonometriska funktioner
...egenskaper hos funktionen y = tan x samt y = a sin x + b cos x
(Lek 14-15, sid 56-60)
-När graf till y = tan x skissas, använd följande: vid 0^o, 180^o, 360^o etc är grafens värde 0. Vid 45^o, 225^o, 405^o etc är grafens värde 1. Vid 90^o, 270^o, 450^o etc "skenar grafen och går mot +∞ och kommer direkt efter från -∞. (Tänk på att tan x = sin x / cos x och för vilka vinklar grafen "skenar" samt är odefinierad).
-Formel till att skriva om y = a sin x + b cos x finns i formelbladet
Inledande övning - Grafen till y = tan x
...tillämpa trigonometriska funktioner för att lösa problem i vardag och yrkesliv
(Lek 16, sid 61-64)
...vissa formler utantill
Formler som ej finns i formelbladet som kan vara bra att kunna utantill finns här: Formler som ej finns i formelblad

Gamla nationella prov

Ma4-vt13
Hela provet

D-kursprov-vt11
Ej uppgift 9, 14 och 17

D-kursprov-vt07
Ej uppgift 9 och 16

E-kursprov-vt05
Ej uppgift 1, 5, 6, 12, 13 och 15

E-kursprov-vt02
Ej uppgift 5, 7, 10, 11 och 13

Matematik 4 Lå 16-17 (ELM)

Matriser i planeringen

Uppgifter