Ma3c: Område Kurvor, derivator och integraler

Arbetsområdet Kurvor, derivator och integraler tar upp kopplingen mellan en kurvas utseende och derivatan, med hjälp av derivatan kan vi rita upp en funktions graf. Det handlar också om kopplingen mellan derivatans graf och funktionens graf. Integraler handlar om att kunna integrera en derivata tillbaka till dess funktion.

Vad?

Utseendet på grafen till en funktion kan bestämmas med hjälp av derivata. När derivatan blir noll i en given punkt på grafen innebär det att funktionen har en extrempunkt, alltså en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. När derivatans värde blir negativt i en punkt innebär det att funktionens värde avtar och att tangenten till den givna punkten har negativ riktningskoefficient. Är istället derivatans värde positivt så ökar funktionens värde och tangenten har positiv riktningskoefficient. Med hjälp av detta kan vi skissa hur grafen till funktionen kommer att se ut. Detta har vi nytta av ur synpunkten att vi kan representera hur funktionens förändringshastighet ändras med en bild av grafen. Vi kan dessutom med hjälp av funktionens andraderivata direkt se om derivatan till funktionen är maximi- eller minimipunkt i den punkt där förstaderivatan är noll. 

Integraler är något som används för att beräkna areor. Areorna av regelbundna figurer som cirklar, rektanglar och trianglar har redan färdiga formler som kan användas, men en oregelbunden area där sidorna består av kurvor går det inte att ha en bestämd formel till. Istället får vi använda integraler för att kunna bestämma en sådan area. Integralkalkyl innebär att dela upp arean i många små areor i form av trapetser. För att kunna genomföra beräkningen behöver vi något som kallas för integrander. Integrander anger gränserna för den area vi ska beräkna och de är primitiva funktioner. Om du har en derivata och vill veta vilken funktion den var så tar du reda på derivatans primitiva funktion. På sätt och vis är det att göra en derivering baklänges och därför kallas primitiva funktioner ofta för antiderivata. 

Inom arbetsområdet kurvor, derivator och integraler kommer du att bekanta dig med många nya begrepp såsom teckenstudie, andraderivata, terrasspunkt, integral, integrand, primitiv funktion, asymptot, andraderivata, integrationsgränser, lokala och globala extremvärden. De här begrepp ska du både förstå och kunna använda till beräkningar.

Hur?

Arbetsområdet kommer bestå av att arbeta med uppgifter i läroboken/digitalt läromedel, enskilda eller gruppgenomgångar, genomgångar via videoklipp, avslutande diagnos m.m.

När?

Arbetsområdet Kurvor, derivator och integraler bör ta elva skolveckor att genomföra. I slutet av den elfte veckan genomförs en diagnos i formativt syfte och via nationella provet examineras området.

Läroplanskopplingar

Centralt innehåll

• Användning av digitala verktyg, även symbolhanterande, för att effektivisera beräkningar och komplettera metoder, till exempel vid ekvationslösning, derivering, integrering och hantering av algebraiska uttryck.
  
• Problemlösning som omfattar begrepp och metoder i kursen, med särskild utgångspunkt i karaktärsämnen och samhällsliv.
  
• Begreppet andraderivata. Metoder för att lösa extremvärdesproblem.
  
• Begreppen primitiv funktion och bestämd integral. Sambandet mellan primitiv funktion och derivata.
• Formulering och beräkning av integraler i enkla situationer.
  
• Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
  
• Grafiska och digitala metoder för att bestämma integraler.
  
• Motivering och hantering av metoder för att bestämma integraler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av dessa.
  
• Tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
  

Kriterier

• Eleven beskriver grundläggande begrepp och samband mellan begrepp samt använder dem med tillfredsställande säkerhet.
• Eleven hanterar grundläggande procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med tillfredsställande säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
• Eleven löser enkla problem inom kursens olika områden. Eleven bedömer resultatens rimlighet.
• Eleven tillämpar och formulerar matematiska modeller i enkla uppgifter, samt utvärderar matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
• Eleven beskriver ett omfattande antal begrepp och samband mellan begrepp samt använder dem med god säkerhet.
• Eleven hanterar ett omfattande antal procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med god säkerhet, både utan och med digitala verktyg. Eleven hanterar avancerade uttryck med god säkerhet.
• Eleven löser relativt komplexa problem inom kursens olika områden. Eleven bedömer resultatens rimlighet.
• Eleven tillämpar och formulerar matematiska modeller i relativt komplexa uppgifter, samt utvärderar matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
• Eleven beskriver ett omfattande antal begrepp och samband mellan begrepp samt använder dem med mycket god säkerhet.
• Eleven hanterar ett omfattande antal procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med mycket god säkerhet, både utan och med digitala verktyg. Eleven hanterar avancerade uttryck med mycket god säkerhet.
• Eleven löser komplexa problem inom kursens olika områden. Eleven bedömer resultatens rimlighet.
• Eleven tillämpar och formulerar matematiska modeller i komplexa uppgifter, samt utvärderar matematiska modellers egenskaper och begränsningar.
• Eleven uttrycker sig med matematiska symboler och andra representationer på ett i huvudsak fungerande sätt.
• Eleven uttrycker sig med matematiska symboler och andra representationer på ett till stor del tydligt och korrekt sätt.
• Eleven uttrycker sig med matematiska symboler och andra representationer på ett tydligt och korrekt sätt.
• Eleven för delvis underbyggda matematiska resonemang och följer enkla matematiska resonemang.
• Eleven för relativt väl underbyggda matematiska resonemang, genomför enkla bevis och följer relativt avancerade matematiska resonemang.
• Eleven för väl underbyggda matematiska resonemang, genomför bevis och följer avancerade matematiska resonemang.