Ma3c: Område Förändringshastigheter och derivator

Arbetsområdet Förändringshastigheter och derivator tar upp användningen av derivata för att bestämma om en funktion avtar eller ökar vid ett specifikt tillfälle. Hur gränsvärden hjälper oss att skapa derivatans definition och därigenom gör att vi kan derivera funktioner är grunden för området. Till det här tillkommer införandet av den naturliga logaritmen e.

Vad?

Derivata används för att kunna avgöra om en funktion växer eller avtar vid ett specifikt tillfälle. I modeller av omvärlden inom både naturvetenskap och ekonomiska modeller är det av yttersta vikt att förstå förändringar och därmed används derivata ofta inom dessa discipliner. Vi skulle till exempel kunna ha bakterier som växer i en petriskål och vi har kommit fram till en funktion som anger hur många bakterier som finns i skålen vid ett visst ögonblick. Med hjälp av derivata skulle vi då kunna få reda på hur stor tillväxthastigheten är vid en viss tidpunkt, det vill säga hur många bakterier som dör eller delar sig per sekund vid det specifika ögonblicket. Du kan med derivata få reda på hur skatten ökar med växande inkomst eller hur en bils hastighet förändras vid en viss tidpunkt. Har du en funktion som talar om hur en asteroid färdas i rymden så skulle derivatan kunna berätta vilken hastighet asteroiden rör sig med. Derivata är hastighet.

I matematik används derivatan som metod för att studera och beräkna förändringar hos funktioner. Derivatan är en funktion som anger förändringshastigheten hos en annan funktion. Därmed kan sägas att med hjälp av derivatan kan vi undersöka hur en funktions värde förändras i en specifik punkt som tillhör funktionen. Vi kan dessutom undersöka hur derivatans hastighet förändras med hjälp av andraderivata. Det innebär t. ex. att om vi har en funktion som beskriver en bils färd, så kommer derivatan ange förändringshastigheten hos bilen i ett givet ögonblick och andraderivatan kommer att ange förändringshastigheten av hastigheten, vilket kallas för acceleration när det handlar om föremål som rör sig.

Du kommer att få lära dig att förstå och använda följande begrepp: förändringshastighet, derivata, gränsvärde, limes, sekant, tangent, ändringskvot, deriveringsregler, derivatans definition, naturliga logaritmen, grafisk och numerisk derivering, differenskvot och central differenskvot. 

Hur?

Arbetsområdet kommer bestå av att arbeta med uppgifter i läroboken/digitalt läromedel, enskilda eller gruppgenomgångar, genomgångar via videoklipp, avslutande diagnos m.m.

När?

Arbetsområdet Förändringshastigheter och derivator bör ta åtta skolveckor att genomföra. I slutet av den elfte veckan genomförs en diagnos i formativt syfte och via nationella provet examineras området.

 

Läroplanskopplingar

Centralt innehåll

• Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion.
• Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner.
• Introduktion av talet e och dess egenskaper.
• Algebraiska och grafiska metoder för bestämning av derivatans värde för en funktion, såväl med som utan numeriska och symbolhanterande verktyg.
• Strategier för matematisk problemlösning inklusive modellering av olika situationer, såväl med som utan digitala verktyg och programmering.
• Matematiska problem av betydelse för samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen.
• Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

Kriterier

• Eleven kan definiera och utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av flera representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa komplexa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade aritmetiska och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet och på ett effektivt sätt, både utan och med digitala verktyg.
• Eleven kan utförligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt utförligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena. I arbetet hanterar eleven flera procedurer, inklusive avancerade aritmetiska och algebraiska uttryck, och löser uppgifter av standardkaraktär med säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
• Eleven kan översiktligt beskriva innebörden av centrala begrepp med hjälp av några representationer samt översiktligt beskriva sambanden mellan begreppen. Dessutom växlar eleven med viss säkerhet mellan olika representationer. Eleven kan med viss säkerhet använda begrepp och samband mellan begrepp för att lösa matematiska problem och problemsituationer i karaktärsämnena i bekanta situationer. I arbetet hanterar eleven några enkla procedurer och löser uppgifter av standardkaraktär med viss säkerhet, både utan och med digitala verktyg.
• Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av komplex karaktär. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I problemlösning upptäcker eleven generella samband som presenteras med symbolisk algebra. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja, tillämpa och anpassa matematiska modeller. Eleven kan med nyanserade omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.
• Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem. Dessa problem inkluderar flera begrepp och kräver avancerade tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att välja och tillämpa matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier, metoder och alternativ till dem.
• Eleven kan formulera, analysera och lösa matematiska problem av enkel karaktär. Dessa problem inkluderar ett fåtal begrepp och kräver enkla tolkningar. I arbetet gör eleven om realistiska problemsituationer till matematiska formuleringar genom att tillämpa givna matematiska modeller. Eleven kan med enkla omdömen utvärdera resultatets rimlighet samt valda modeller, strategier och metoder.
• Eleven kan föra välgrundade och nyanserade matematiska resonemang, värdera med nyanserade omdömen och vidareutveckla egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med god anpassning till syfte och situation.
• Eleven kan föra välgrundade matematiska resonemang och värdera med nyanserade omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Vidare kan eleven genomföra enkla matematiska bevis. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal och skrift samt använder matematiska symboler och andra representationer med viss anpassning till syfte och situation.
• Eleven kan föra enkla matematiska resonemang och värdera med enkla omdömen egna och andras resonemang samt skilja mellan gissningar och välgrundade påståenden. Dessutom uttrycker sig eleven med viss säkerhet i tal och skrift med inslag av matematiska symboler och andra representationer.
• Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade och nyanserade resonemang om exemplens relevans.
• Genom att ge exempel relaterar eleven något i några av kursens delområden till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra välgrundade resonemang om exemplens relevans.
• Genom att ge exempel relaterar eleven något i kursens innehåll till dess betydelse inom andra ämnen, yrkesliv, samhällsliv och matematikens kulturhistoria. Dessutom kan eleven föra enkla resonemang om exemplens relevans.