Ma3c - ELM

Formelblad kurs3

Gamla nationella prov

HT13

VT13

HT12

2. Grunder derivata (algebraiskt och grafiskt)

v16  Tis     2.1 Ändringskvoter (uppgift: 2104, 05, 06, 07, 08, 09, 12, 13, 14, 17, 18a)
        Tors   2.1 Begreppet derivata (uppgift: 2124, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 38

Test - Ändringskvoter och begreppet derivata

v17   Mån  2.2 Gränsvärden (uppgift: 2202-2206) (2203 kan ritas upp med hjälp av geogebra)
         Tis    C+ 2.2 Derivatans definition
         Tors  2.3 Derivatan av polynom (uppgift: 2305, 06, 07, 08, 09, 10, 14, 18, 19, 20, 22, 23)

v18   Mån  2.3 Derivatan av polynom (uppgift: nu även 2311, 12, 13, 15, 24)
         Tis    C+ 2.3 Derivatan av potensfunktioner
         Tors  Räkna ikapp / repetition

Test - Gränsvärden och derivatan av polynom

v19   Mån  3.1 Växande eller avtagande (uppgift: 3106-14, för C+ även 15)
         Tis    3.1 Förstaderivatan och grafen (uppgift 3116-25, för C+ alla)
         Tors  NP ENG 9.00-11.40

Test - Derivator och grafer

v20   Mån  Räkna ikapp / repetition
         Tis    INGEN LEKTION - Övriga TE20 skriver NP
         Tors  3.2 Derivator och tillämpningar (Polynomfunktioner)  (uppgift: 3202, 03, 05, 06, 07, 09, 11)

v21   Mån  C+ 3.2 Derivator och tillämpningar (Potensfunktioner)
         Tis    Räkna ikapp / repetition
         Tors  KRISTI HIMMELSFÄRD

Test - Derivator och tillämpningar

v22   Mån  Prov?
         Tis
         Tors

v23   Mån  SVERIGES NATIONALDAG
         Tis Omprov / sjukprov
         Tors SKOLAVSLUTNING

2. Sammanfattning - Gränsvärden och derivata

Ändringskvoter
Använd logiskt tänkande eller k = (y2-y1) / (x2-x1)

Kunna göra tillämpade beräkningar
  Exempel:
  Beräkna föremålets hastighet från tidpunkten 4s till 7s
  Tid sekunder     0     1     2      3      4      5      6      7
  Avstånd meter  0    0,5  1,1   1,8   2,8   4,1  5,7    7,8

Kunna hantera begreppet f(x)
  Exempel:
  Temperaturen ändras enligt f(t) = t^3 - 6t + 20, där t är tiden i timmar från start
  Beräkna och tolka ( f(6) - f(1) ) / (6 - 1)

Begreppet derivata
Derivata för en punkt = lutningen för grafen i denna punkt
Kan användas för att t.ex. besvara "vad var hastigheten efter 3 sek?"

Kunna bestämma om lutningen är negativ, 0 eller positiv för en graf i en punkt (Uppg 2114)

Kunna göra tolkningar
  Exempel:
  Ett föremål som faller fritt har efter tiden t sekunder fallit s(t) meter.
    Vad betyder det att s(4) = 78? 
    Vad betyder det att s'(4) = 40?

Gränsvärden
Gränsvärde är det värde en funktion närmar sig då en variabel närmar sig ett värde
Exempel:
       lim   (x^3 + 2)
     (x->0)
  Ovanstående betyder "vilket värde antar x^3 + 2 då x närmar sig 0". Svaret är 2 (eftersom 0^3 = 0)

Förenkla om möjligt även om det innebär att förkorta bort x

(Derivatans definition är C+)

Derivatan av polynom
Om f(x) = k, så är f'(x) = 0 (lutningen för en konstant är alltid = 0)
Exempel:
  f(x) = 5
  f'(x) = 0

Om f(x) = x^n, så är f'(x) = nx^(n-1) (exponenten trillar ner och minskar med ett)
Exempel:
  f(x) = x^4
  f'(x) = 4x^3

Om f(x) = kx^n, så är f'(x) = n*k*x^(n-1)
Exempel:
  f(x) = 5x^3
  f'(x) = 3*5*x^2 = 15x^2

Polynom får deriveras "term för term"
Exempel:
  f(x) = 2x^4 + 4x^2
  f'(x) = 4*2*x^3 + 2*4*x^1 = 8x^3 + 8x

För att bestämma f'(k), derivera f(x) och byt sedan ut x mot k
Exempel:
  Bestäm f'(2) då f(x) = 3x^2
  f'(x) = 6x
  f'(2) = 12

För att koppla ihop med "Begreppet derivata" (se ovan)
Derivatan i en punkt = lutningen i denna punkt
På en graf kan man dra en rät linje, en tangent, och försöka avläsa lutningen på tangenten. Med hjälp av deriveringsregler så kan vi nu derivera och sedan beräkna exakt lutning genom att stoppa in x-värdet i derivatan

Växande och avtagande
Om f '(x) > 0 så är grafen växande
Om f '(x) < 0 så är grafen avtagande
Om f '(x) = 0 så har grafen en extrempunkt (dvs maximi eller minimipunkt), här "vänder" grafen

Derivator och tillämpningar
Genom att lösa ekvationen f '(x) = 0 (dvs hitta det x-värde då derivatan = 0) så kan vi hitta var en funktion har sin maximi eller minimipunkt - det är här som exempelvis en raket når sin högst höjd eller som temperaturen är som lägst

3. Repetition - Derivata och Algebra

Veckotest Derivata
Veckotest 1
Veckotest 2 (ej uppgift 1) (inspelad genomgång)
Veckotest 3 (inspelad genomgång uppgift 2-3, uppgift 4)
Veckotest 4 (inspelad genomgång, uppgift 3d)

Veckotest Algebra
Veckotest 1 (inspelad genomgång)
Veckotest 2 (inspelad genomgång)
Veckotest 3
Veckotest 4

v35 Mån 2.1 Begreppet derivata (uppgift: 2124, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 38)
       Tis  2.3 Derivatan av polynom (uppgift: 2305, 06, 07, 08, 09, 10, 14, 18, 19, 20, 22, 23, 2311, 12, 13, 15, 24)
       Ons 2.3 Derivatan av polynom

v36 Mån 3.1 Växande eller avtagande (uppgift: 3107, 08, 09, 11ab, 12, (14))
       Tis  3.1 Växande eller avtagande
       Ons 3.2 Derivator och tillämpningar (Polynomfunktioner)  (uppgift: 3202, 03, 05, 06, 07, 09, 11)

v37 Mån 3.2 Derivator och tillämpningar (Polynomfunktioner)  (uppgift: 3202, 03, 05, 06, 07, 09, 11)
       Tis  >Egen räkning uppgifter ovan<
       Ons  1.1 Polynom och räkneregler (E: 1104, 1105, 1106, 1109, 1110, 1113)
                1.1 Potenser (E: 1124, 1125, 1126ab, 1127, 1129, 1132)

v38 Mån 1.1 Kvadratrötter (E: 1141, 1142, 1145, 1146)
       Tis >Egen räkning uppgifter ovan<
       Ons >Egen räkning uppgifter ovan<

v40 Mån 1.1 Absolutbelopp (E: 1144, 1150, 1151, 1152)
       Tis   1.1 Ekvationer 
                     PQ-formeln och nollproduktsmetoden är E-nivå (E: 1161, 1162, 1163, 1164, 1165)
                     Substitutionsmetoden och rotekvationer är C nivå (C: 1178, 79, 81, 83a, 84)
       Ons  1.1 Ekvationer

v41 Mån 1.1 Polynom i faktorform (faktoriseringar) (E: 1188, 90, 91, 92, 94 C: 89, 93, 96)
       Tis  >Egen räkning uppgifter ovan<
       Ons  1.2 Vad menas med rationellt uttryck (E: 1204, 1205, 1206, 1207)

v42 Mån 1.2 Förlängning och förkortning (E: 1215, 1216, 1217, 1218, 1219   C: 1226, 27, 28)
       Tis 1.2 Addition och subtraktion (E: 1246, 1247, 1248, 1249, 1250, 1251, 1253, 1257, 1258, 1259)
       Ons >Egen räkning uppgifter ovan<

v43 Mån PROV Derivata och Algebra

v45 fram till jul: Mer om derivata, integraler samt trigonometri

4. Mer om derivata och integraler

v43 Tis, tors - 2.4 Derivatan av y = e^kx (2405, 06, 07, 08, 10ab, 11)
                     C+ Derivatan av y = a^x

v45 Mån - Repetition 2.4 Derivatan av y = e^kx
                 2.4 Tillämpningar och problemlösning (2457, 58, 59, 61, 63)
V45 Tis - >Egen räkning uppgifter ovan< / OMPROV
V45 Ons - 3.3 Primitiva funktioner (3303, 04, 05, 06, 07, 09, 10)

V46 Mån - 3.3 Primitiva funktioner med villkor (3317, 19, 20, 21, (22), 23)
V46 Ons - 3.4 Integraler Inledning (3403, 04, 05, 06, 07)

V47 Mån - 3.4 Integralberäkning med primitiv funktion (3411, 12, 13, 14, 15, 16ab)
V47 Tis - >Egen räkning uppgifter ovan<
V47 Ons - 3.4 Tillämpningar och problemlösning (3421, 22, 23, 24)

v11 Mån    "Tid att räkna" (1.2 Multiplikation och division - endast om du har tid)
      Tis       4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar
      Tors     4.1 Några exakta trigonometriska värden (E: Använda formelbladet. C+: Kunna räkna fram värdena själv)

v12 Mån    "Tid att räkna"
       Tis      4.1 Godtyckliga trianglar (enhetscirkeln)
       Tors    "Tid att räkna"

Veckotest
Veckotest

V48 Mån - Repetition 4.1 Trigonometri i rätvinkliga trianglar
v48 Tis - Repetition 4.1 Godtyckliga trianglar (enhetscirkeln)

v48 Ons - 4.2 Area-, sinus- och cosinussatsen

v49 Mån - 4.2 Area-, sinus- och cosinussatsen
v49 Tis - PROV - Talet e, primitiva funktioner, integraler och trigonometri
v49 Ons - Provgenomgång

v50 Mån - Repetition
v50 Tis - Nationellt Prov B1021a 8.30-14.30
v50 Ons - ??

v51 Mån - ??
v51 Tis - ??

Trigonometri: Grunder
  sin v = mot / hyp (sinus)
  cos v = när / hyp (cosinus)
  tan v = mot / när (tangens)

  OBS! RÄKNA ALLTID MED GRADER!! (inte radianer)

  TIPS: Ställ alltid upp en ekvation!

  Exempel: Beräkna x då vinkeln är 35 grader, motstående är 15 cm och närliggande x cm
    Vi använder tan eftersom vi har motstående och närliggande.
    tan 35 = 15 / x
    x * tan 35 = 15
    x = 15 / tan 35
    x = 21,42

  Använd sin^-1, cos^-1 och tan^-1 när vinkeln ska bestämmas!
  Exempel: Beräkna vinkeln då motstående är 15 cm och hypotenusan är 17 cm
    Vi använder sin eftersom vi har motstående och hypotenusan
    sin v = 15 / 17
    v = sin^-1 (15 / 17)
    v = 61,93

  TIPS: I formelbladet finns det flera exakta värden för några vinklar.

Trigonometri: Enhetscirkeln
  I enhetscirkeln är radien alltid = 1. Dvs hypotenusan är alltid = 1. Det ger att:

     sin v = y
     cos v = x

  OBS! Det finns nästan alltid två vinklar som ger samma x eller y värde (till vänster och höger om y-axeln om sin, samt ovanför eller under x-axeln om cos). Detta leder till följande regler (lär dig inte detta utantill, försök förstå det i stället):
  sin v = sin (180 - v)
  -sin v = sin (360 - v)
  cos v = cos (360 - v)
  -cos v = cos (180 - v)

 

 

 

 

1. Algebra och lite trigonometri

v4  Tors   1.1 Polynom och räkneregler (uppg 1101, 02, 03, 06, 07, 08)

v5  Mån   1.1 Potenser (1119, 20, 21, 22, 23, 25) 
v5  Tis      1.1 Kvadratrötter
                1.1 Absolutbelopp (1135, 41, 42, 43)
v5  Tors    "Tid att räkna" / Ingen lektion

Test Polynom, potenser, kvadratrötter och absolutbelopp

v6 Mån     "Tid att räkna"

v6 Tis       "Tid att räkna"
v6 Tors     1.1 Polynomekvationer 
                 PQ-formeln och nollproduktsmetoden är E-nivå (1148-1159)
                 Substitutionsmetoden och rotekvationer är C nivå (1160->)

Test ekvationer

v7 Mån     "Tid att räkna"
v7 Tis       1.1 Polynom i faktorform (faktoriseringar) 
v7 Tors     "Tid att räkna"

v8 Sportlov

v9 Mån     Stencil: Repetition bråk (E: Alla uppgifter)

Test Faktoriseringar och bråk

v9  Tis       1.2 Vad menas med rationellt uttryck (1201-1206)
      Tors     1.2 Förlängning och förkortning (E: 1210, 11, 12, 15, 16, 17. C: 1213, 14, 18, 19, 20, 21, 22)

v10 Mån    1.2 Addition och subtraktion (E: 1241, 42, 43, 44, 46, 47, 48)

Test Rationella uttryck

v10 Tis       1.3 Exponentialfunktioner och potensfunktioner

v10 Tors     "Tid att räkna"

Test Exponential- och potensfunktioner

 

v11            Repetition inför prov

 

v12 Mån    PROV (Allting förutom 1.2 Multiplikation/Division, 1.3 Räta linjens ekvation, 1.3 Andragradsfunktioner samt ingenting från aktiviteterna)

 

v14 Tors    OMPROV

 

 

1. Sammanfattning - Algebra och lite trigonometri 

Kvadratrötter
  √x = x^(1/2) eller x^0,5
  Exempel:
    x√x = x^1,5

    x√x / x^2 = x^1,5 / x^2 = 1/x^0,5 = 1/√x

Absolutbelopp
  "Storleken" på talet utan hänsyn till om det är negativt eller ej
  Exempel:
    |-3| = 3
    |x+3| = 5 betyder att x = 2 eller -8, varför? 2+3 = 5. -8+3 = -5 och |-5| = 5

Ekvationer - Nollproduktsmetoden
  Om ? * ? = 0 måste något av ? vara = 0
  Exempel:
    (x + 4)(x - 5) = 0 innebär att x + 4 = 0 ger en lösning till ekvationen samt att x - 5 = 0 ger en andra lösning till ekvationen. 
    Dvs x = -4 och x = 5 är lösningar till ekvationen.
    Kontroll om x = -4: (-4 + 4)(-4 - 5) = 0 * -9 = 0, Stämmer!
    Kontroll om x = 5: (5 + 4)(5 - 5) = 9 * 0 = 0, Stämmer!
  Exempel:
    x^3 + 4x^2 - 6x = 0 kan skrivas om till x(x^2 + 4x - 6) = 0.
    x = 0 är då en lösning till ekvationen
    x^2 + 4x - 6 = 0 ger de andra två lösningarna till ekvationen

C+ Ekvationer - Substitutionsmetoden
  Förenkla svåra ekvationer genom att byta ut något mot t. Lös sedan ekvationen för att få vad t =. Ta sedan redan på vad x =.
    Exempel:
    x^4 + 2x^2 - 15 = 0
    Ersätt x^2 = t
    t^2 + 2t - 15 = 0
    PQ-formeln ger att t = 3 och att t = -5
    Eftersom x^2 = t sätter vi nu:
      x^2 = 3, detta ger att x = √3, x = -√3
      x^2 = -5, denna ekvation går ej lösa och ger därför bara falska rötter.
    Svar: x = √3 och x = -√3

Faktoriseringar
  -Enkla där vi bryter ut gemensamma faktorer
       Exempel: Faktorisera 4x^2 + 6x = 2x (2x + 3)
  -Använda PQ-formeln och nollproduktsmetoden
       Exempel: Faktorisera x^2 - x - 20
                       Sätt x^2 - x - 20 = 0 och lös ekvationen. Du får x = 5 och x = -4. Du kan därför skriva (x - 5)(x + 4)
  -Användande av kvadrerings- och konjugatregler
       Exempel: Faktorisera 4x^2 - 12x - 9 = (2x)^2 - 2 * 2 * 3 - 3^2 = (2x - 3)^2

Rationella uttryck
  Ej definierbart när nämnaren = 0
  Exempel: (3x + 4)/(x - 3) är ej definierat när x = 3 (uttrycket saknar värde då)

  När du ska förkorta, faktorisera uttrycket först!
  Exempel: (3x^2 - 6) / (3x) = 3(x^2 - 2) / (3x) = (x^2 - 2) / x
  Exempel: (3x^2 - 6x) / (x - 2) = 3x (x - 2) / (x - 2) = 3x

  När du ska addera/subtrahera - gör alltid liknämnigt
  Exempel: Förenkla (3x - 6) / (3x) + (2x + 2) / (2x)
    2(3x - 6) / 2(3x) + 3(2x + 2) / 3(2x)
    (6x - 12) / (6x) + (6x + 6) / (6x) 
    (6x - 12 + 6x + 6) / (6x)
    (12x - 6) / (6x)
    6(2x - 1) / (6x)
    (2x - 1) / x