Formelblad kurs3

1. Algebra och lite trigonometri

v35 Repetition, viktigt att kunna senare men kommer ej testas på provet
(1.3 Räta linjens ekvation) (1315-1318, 1320)
(1.3 Andragradsfunktioner) (1327-1330, 1333-1335)
(1.3 Andragradsfunktioner och nollställen)
(1.3 Grafiska lösningsmetoder)

v36 1.1 Polynom och räkneregler (Alla utom 1110, 13)
1.1 Faktorisera (Alla utom 1130, C+ är 1134, 35)

v37 1.1 Potenser

v38 1.1 Kvadratrötter (C+ 1162, 63)
1.1 Polynomekvationer
PQ-formeln och nollproduktsmetoden är E-nivå (1164-1184, 1189-1190)
Substitutionsmetoden och rotekvationer är C nivå (C+ övriga uppgifter)

v39 Stencil: Repetition bråk (E: Alla uppgifter)
1.2 Vad menas med rationellt uttryck (1201-1207, 1209 övriga är C+)
1.2 Förlängning och förkortning (1211-1215, 1218-1220, 1224 övriga är C+)
1.2 Addition och subtraktion (1237-46 övriga är C+)
(1.2 Multiplikation och division) - Behöver ej göras alls

v40 1.3 Exponentialfunktioner och potensfunktioner (1360-1373)
(1.3 Funktionsbegreppet) (1301-1306, 1308-1309, 1313) Repetition, viktigt att kunna senare men kommer ej testas på provet

v41 PROV (Allting förutom 1.2 Multiplikation/Division, 1.3 Räta linjens ekvation, 1.3 Andragradsfunktioner samt ingenting från aktiviteterna)

1. Sammanfattning - Algebra och funktioner

Polynom och räkneregler, faktorisera och potenser
Kunna multiplicera ihop parenteser
Kunna använda kvadrerings och konjugatreglerna
Kunna hantera ex 5x^6 * 7x^3

Faktoriseringar
-Enkla där vi bryter ut gemensamma faktorer
Exempel: Faktorisera 4x^2 + 6x = 2x (2x + 3)
-Använda PQ-formeln och nollproduktsmetoden
Exempel: Faktorisera x^2 - x - 20
Sätt x^2 - x - 20 = 0 och lös ekvationen. Du får x = 5 och x = -4. Du kan därför skriva (x - 5)(x + 4)
-Användande av kvadrerings- och konjugatregler
Exempel: Faktorisera 4x^2 - 12x - 9 = (2x)^2 - 2 * 2 * 3 - 3^2 = (2x - 3)^2

Potenser
Kunna förenkla ex (3^2)^9 + (3^2)^9 + (3^2)^9

Kvadratrötter
√x = x^(1/2) eller x^0,5
Exempel:
x√x = x^1,5

x√x / x^2 = x^1,5 / x^2 = 1/x^0,5 = 1/√x

Polynomekvationer - Nollproduktsmetoden
Om ? * ? = 0 måste något av ? vara = 0
Exempel:
(x + 4)(x - 5) = 0 innebär att x + 4 = 0 ger en lösning till ekvationen samt att x - 5 = 0 ger en andra lösning till ekvationen.
Dvs x = -4 och x = 5 är lösningar till ekvationen.
Kontroll om x = -4: (-4 + 4)(-4 - 5) = 0 * -9 = 0, Stämmer!
Kontroll om x = 5: (5 + 4)(5 - 5) = 9 * 0 = 0, Stämmer!
Exempel:
x^3 + 4x^2 - 6x = 0 kan skrivas om till x(x^2 + 4x - 6) = 0.
x = 0 är då en lösning till ekvationen
x^2 + 4x - 6 = 0 ger de andra två lösningarna till ekvationen

C+ Polynomekvationer - Substitutionsmetoden
Förenkla svåra ekvationer genom att byta ut något mot t. Lös sedan ekvationen för att få vad t =. Ta sedan redan på vad x =.
Exempel:
x^4 + 2x^2 - 15 = 0
Ersätt x^2 = t
t^2 + 2t - 15 = 0
PQ-formeln ger att t = 3 och att t = -5
Eftersom x^2 = t sätter vi nu:
x^2 = 3, detta ger att x = √3, x = -√3
x^2 = -5, denna ekvation går ej lösa och ger därför bara falska rötter.
Svar: x = √3 och x = -√3

Rationella uttryck
Ej definierbart när nämnaren = 0
Exempel: (3x + 4)/(x - 3) är ej definierat när x = 3 (uttrycket saknar värde då)

När du ska förkorta, faktorisera uttrycket först!
Exempel: (3x^2 - 6) / (3x) = 3(x^2 - 2) / (3x) = (x^2 - 2) / x
Exempel: (3x^2 - 6x) / (x - 2) = 3x (x - 2) / (x - 2) = 3x

När du ska addera/subtrahera - gör alltid liknämnigt
Exempel: Förenkla (3x - 6) / (3x) + (2x + 2) / (2x)
2(3x - 6) / 2(3x) + 3(2x + 2) / 3(2x)
(6x - 12) / (6x) + (6x + 6) / (6x)
(6x - 12 + 6x + 6) / (6x)
(12x - 6) / (6x)
6(2x - 1) / (6x)
(2x - 1) / x

Exponentialfunktioner och potensfunktioner
Kunna ställa upp en funktion som är baserat på en procentuell förändring
Kunna lösa ekvationer av typen 4x^5 = 60
Kunna lösa ekvationer av typen 5^x = 60

2. Grunder derivata (algebraiskt och grafiskt)

v45 2.1 Ändringskvoter (uppgift: 2103, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 14)

v46 2.1 Begreppet derivata (uppgift: 2117, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 31, 32, 33)
2.2 Gränsvärden (uppgift: 2202-2206) (2203 kan ritas upp med hjälp av geogebra)

v47 2.3 Derivatan av polynom (uppgift: 2301, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 13, 14, 18)
2.3 Derivatan av potensfunktioner (uppgift: 2322, 23, 24, 27)

v48 3.1 Växande eller avtagande (uppgift: 3107, 08, 09, 10, 11, 12)
3.1 Förstaderivatan och grafen (uppgift: 3119, 20, 21, 23, 24, 25)

v49 3.2 Derivator och tillämpningar (Polynomfunktioner) (uppgift: 3201, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10)
3.2 Derivator och tillämpningar (Potensfunktioner) (uppgift: 3229, 31, 32, 33, 34)

v50 Buffert / Repetittion / Prov?
C+ 3.2 Andraderivatan
C+ 3.2 Andraderivatan och grafen

v51 Prov

2. Sammanfattning - Grunder derivata (algebraiskt och grafiskt)

Ändringskvoter
Använd logiskt tänkande eller k = (y2-y1) / (x2-x1)

Kunna göra tillämpade beräkningar
Exempel:
Beräkna föremålets hastighet från tidpunkten 4s till 7s
Tid sekunder 0 1 2 3 4 5 6 7
Avstånd meter 0 0,5 1,1 1,8 2,8 4,1 5,7 7,8

Kunna hantera begreppet f(x)
Exempel:
Temperaturen ändras enligt f(t) = t^3 - 6t + 20, där t är tiden i timmar från start
Beräkna och tolka ( f(6) - f(1) ) / (6 - 1)

Begreppet derivata
Derivata för en punkt = lutningen för grafen i denna punkt
Kan användas för att t.ex. besvara "vad var hastigheten efter 3 sek?"

Kunna bestämma om lutningen är negativ, 0 eller positiv för en graf i en punkt (Uppg 2114)

Kunna göra tolkningar
Exempel:
Ett föremål som faller fritt har efter tiden t sekunder fallit s(t) meter.
Vad betyder det att s(4) = 78?
Vad betyder det att s'(4) = 40?

Gränsvärden
Gränsvärde är det värde en funktion närmar sig då en variabel närmar sig ett värde
Exempel:
lim (x^3 + 2)
(x->0)
Ovanstående betyder "vilket värde antar x^3 + 2 då x närmar sig 0". Svaret är 2 (eftersom 0^3 = 0)

Förenkla om möjligt även om det innebär att förkorta bort x

(Derivatans definition är C+)

Derivatan av polynom
Om f(x) = k, så är f'(x) = 0 (lutningen för en konstant är alltid = 0)
Exempel:
f(x) = 5
f'(x) = 0

Om f(x) = x^n, så är f'(x) = nx^(n-1) (exponenten trillar ner och minskar med ett)
Exempel:
f(x) = x^4
f'(x) = 4x^3

Om f(x) = kx^n, så är f'(x) = n*k*x^(n-1)
Exempel:
f(x) = 5x^3
f'(x) = 3*5*x^2 = 15x^2

Polynom får deriveras "term för term"
Exempel:
f(x) = 2x^4 + 4x^2
f'(x) = 4*2*x^3 + 2*4*x^1 = 8x^3 + 8x

För att bestämma f'(k), derivera f(x) och byt sedan ut x mot k
Exempel:
Bestäm f'(2) då f(x) = 3x^2
f'(x) = 6x
f'(2) = 12

För att koppla ihop med "Begreppet derivata" (se ovan)
Derivatan i en punkt = lutningen i denna punkt
På en graf kan man dra en rät linje, en tangent, och försöka avläsa lutningen på tangenten. Med hjälp av deriveringsregler så kan vi nu derivera och sedan beräkna exakt lutning genom att stoppa in x-värdet i derivatan

Växande och avtagande
Om f '(x) > 0 så är grafen växande
Om f '(x) < 0 så är grafen avtagande
Om f '(x) = 0 så har grafen en extrempunkt (dvs maximi eller minimipunkt), här "vänder" grafen

Derivator och tillämpningar
Genom att lösa ekvationen f '(x) = 0 (dvs hitta det x-värde då derivatan = 0) så kan vi hitta var en funktion har sin maximi eller minimipunkt - det är här som exempelvis en raket når sin högst höjd eller som temperaturen är som lägst